Trang chủ > Bài giảng Xác suất thống kê > 5.4 Hàm của các đại lượng ngẫu nhiên

5.4 Hàm của các đại lượng ngẫu nhiên

01/09/2010

1. Hàm một biến ngẫu nhiên:

Định nghĩa: Cho các đại lượng ngẫu nhiên X, Y, Z, … , T. Hàm số Q = φ(X, Y, Z, … , T) được gọi là hàm của các đại lượng ngẫu nhiên.

Trong đó:

+ Mỗi bộ X = x, Y = y, Z = z, … , T = t thì qui tắc φ xác định 1 giá trị duy nhất của đại lượng ngẫu nhiên Q.

+ Qui tắc φ được lập thành từ các phép toán và các hàm toán học thông thường.

Định nghĩa: Nếu X, Y, Z, … , T là các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc (liên tục) thì Q được gọi là hàm của các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc (liên tục).

Ví dụ 3: Xét đại lượng ngẫu nhiên Z = là hàm của các đại lượng ngẫu nhiên độc lập X1, X2, X3. Giả sử X1 = 2, X2 = 4, X3 = 1 với các xác suất tương ứng là p1 = 0,2; p2 = 0,3; p3 = 0,4 thì đại lượng ngẫu nhiên Z nhận giá trị 28 với xác suất p = (0,2)(0,3)(0,4) = 0,024.

Việc nghiên cứu hàm Z của các đại lượng ngẫu nhiên trên rất khó khăn, đặc biệt là các giá xác suất của Z. Các phần tiếp theo chỉ ra luật phân phối xác suất của Z trong một số trường hợp riêng.

2. Hàm của các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc:

Định nghĩa: Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X, Y = φ(X) được gọi là hàm của 1 đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.

Bảng phân phối xác suất:

Bảng phân phối xác suất của Y = φ(X) có dạng:

Y
P

Trong đó:

. yi: Các giá trị có thể có của Y được tìm từ các giá trị có thể có của X thông qua hàm φ.

. Pi: Xác suất tương ứng của yi: .

Ví dụ 4: Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau:

X -1            0            1           2
P 0,2        0,3        0,1        0,4

Hãy lập bảng phân phối xác suất của Y = φ(X) = X2 + 1.

Với các giá trị của X được cho trong bảng và hàm số Y = φ(X) = X2 + 1, ta suy ra các giá trị Y có thể nhận là:1, 2, 5.

Ta có: P(Y = 1) = P(X = 0) = 0,3.

P(Y = 2) = P(X = -1) + P(X = 1) = 0,3.

P(Y = 5) = P(X = 2) = 0,4.

Bảng phân phối xác suất của Y là:

X 1                2                 5
P 0,3 0,3             0,4

Các tham số đặc trưng:

i) Ta có thể xem Y như 1 đại lượng ngẫu nhiên, rồi áp dụng các công thức đã biết:

. E(Y) = .

. Var(Y) = .

ii) Công thức:

. E(Y) = .

. Var(Y) = .

Ví dụ 5: Với giả thiết cho trong ví dụ 4, hãy tìm E(Y), Var(Y).

Ta có:

E(Y) = = 1.(0,3) + 2.(0,3) + 5.(0,4) = 2,9

(= = 2.(0,2) + 1.(0,3) + 2.(0,1) +5.(0,4) = 2,9).

Var(Y) =

.

3. Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc độc lập:

Định nghĩa: Cho 2 đại lượng ngẫu nhiên rời rạc độc lập X, Y có luật phân phối xác suất như sau:

X
P

Y
P

Đại lượng ngẫu nhiên Z = φ(X,Y) là hàm của 2 đại lượng ngẫu nhiên rời rạc độc lập.

Bảng phân phối xác suất:

Bảng phân phối xác suất của Z có dạng:

Z
P

Trong đó:

. zk: Là các giá trị có thể có của Z được tìm từ các giá trị có thể có của X và Y thông qua hàm φ.

. rk: Xác suất tương ứng Z = zk:

.

Ví dụ 6: Cho X, Y là các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc độc lập lần lượt có bảng phân phối xác suất sau:

X 0               1                 2
P 0,5               0,3             0,2

Y 1                       2
P 0,6                    0,4

Lập bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên Z = X.Y.

Ta lập bảng sau:

X\Y 0 1 2
1 0 1 2
2 0 2 4

Dựa vào bảng trên ta thấy Z có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2, 4.

Ta có:

P(Z = 0) = P(X = 0).P(Y = 1) + P(X = 0).P(Y = 2) = (0,5).(0,6) + (0,5).(0,4) = 0,5

P(Z = 1) = P(X = 1).P(Y = 1) = (0,3).(0,6) = 0,18

P(Z = 2) = P(X = 2).P(Y= 1) + P(X = 1).P(Y = 2) = (0,2).(0,6) + (0,3).(0,4) = 0,24

P(Z = 4) = P(X = 2).P(Y = 2) = (0,2).(0,4) = 0,08

Vậy bảng phân phối xác suất của Z là:

Z 0              1               2           4
P 0,5        0,18          0,24        0,08

Các tham số đặc trưng: Để tính kỳ vọng và phương sai của Z ta xem Z như là 1 đại lượng ngẫu nhiên rời rạc rồi áp dụng các công thức tính đã biết. Hoặc áp dụng các tính chất của kỳ vọng và phương sai để tính.

Ví dụ 7: Với giả thiết trong ví dụ 6, hãy tính E(Z) và Var(Z).

Ta có:

E(Z) = = 0.(0,5) + 1.(0,18) + 2.(0,24)+ 4.(0,08) = 0,98

Var(Z)== .

4. Hàm của các đại lượng ngẫu nhiên liên tục:

Định nghĩa: Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X, Y = φ(X) là hàm của 1 đại lượng ngẫu nhiên liên tục.

Hàm mật độ xác suất: Khi đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x), Y = φ(X) là hàm khả vi, đơn điệu tăng hoặc giảm, có hàm ngược là X = W(Y). Khi đó ta có hàm mật độ xác suất của Y là: g[[yes]] = f(W[[yes]]).W’[[yes]]

Ví dụ 8: Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất: . Đại lượng ngẫu nhiên Y được xác định như sau: Y = φ(X) = 2X. Tìm hàm mật độ xác suất của Y.

Ta có Y = 2X là hàm khả vi, luôn tăng và có hàm ngược là: .

Suy ra hàm mật độ của Y:

g[[yes]] = .

Các tham số đặc trưng:

E(Y) = .

Var(Y) = .

Ví dụ 9: Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất:

Và Y = 6X2(3 – X). Tính E(Y), Var(Y).

Ta có:

E(Y) = = =

=

=

Var(Y) =

5. Hàm tổng của hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục độc lập nhau:

Định nghĩa: Cho X, Y là 2 đại lượng ngẫu nhiên liên tục độc lập có hàm mật độ xác suất f(x), g[[yes]] và Z = X + Y. Khi đó, hàm mật độ xác suất của Z được xác định như sau:

H(z) =

Ví dụ 10: Cho X R[0,2]; Y R[0,5] và Z = X + Y. Tìm hàm mật độ xác suất của Z.

Ta có:

X R[0,2] =>

Y R[0,5] =>

Hàm mật độ của Z: h(x) =

Đặt: t = z – x => dt = – dx => => h(x) =

Xét:

. z < 0: h(z) = .

. <=> 0 ≤ z < 2: h(z) =

. <=> 2 ≤ z < 5: h(z) =

. <=> 5 ≤ z < 7: h(x) =

. z – 2 ≥ 5 <=> z ≥ 7: h(z) =

Vậy:

y =

y =

F(x)

O

x

5

2

Hình 27

Minh họa đồ thị :

%d bloggers like this: