Trang chủ > Bài giảng Xác suất thống kê > 4.3 Phân phối siêu bội

4.3 Phân phối siêu bội

01/09/2010

i). Bài toán: Cho 1 tập hợp gồm N phần tử trong đó có M phần tử có tính chất A. Lấy ngẫu nhiên ra n phần tử. Gọi X là số phần tử có tính chất A có trong n phần tử lấy ra. Khi đó, X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị 0,1,2,.. ,n với các xác suất tương ứng là:

, gọi là công thức Siêu bội.

ii) Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2,.. ,n với các xác suất tương ứng được tính theo công thức Siêu bội được gọi là có phân phối Siêu bội với tham số N, M, n.

Kí hiệu: X H(N, M, n)

Bảng phân phối xác suất:

X 0   1     2     …     k     …     n
P

Ví dụ 5: Một lô hàng gồm có 10 sản phẩm, trong đó có 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng. Tính xác suất để trong 4 sản phẩm lấy ra chỉ có 1 phế phẩm.

Gọi X là số sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm lấy ra thì X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội với tham số N = 10, M = 6 và n = 4

Xác suất để trong 4 sản phẩm lấy ra chỉ có 1 phế phẩm là:

Chú ý: Nếu n << N thì » với p =

Như vậy: Khi n << N, ta có thể xem như X B(n;p) và p =

Các tham số đặc trưng:

Nếu X H(N;M;n) thì:

E(X) = np, với p =

Ví dụ 6: Gọi X là số cây At trong 3 cây bài lấy ra từ bộ bài 52 cây. Hãy tính: E(X), Var(X) và .

Ta có: X ~ H(N, M, n).

Với N = 52, M = 4, n = 3.

Khi đó p = Þ q = 1 – p = 1 –

Ta được:

E(X) = n.p = 3..

Var(X) = npq..

= = 0,226

Ví dụ 7: Một trường gồm có 10000 sinh viên, trong đó có 1000 học kém. Một Đoàn thanh tra đến trường, chọn ngẫu nhiên 100 sinh viên để kiểm tra. Tính xác suất để có 20 sinh viên học kém.

Gọi X là số sinh viên học kém trong 100 sinh viên được chọn ra.

Ta có: X H(10000; 1000; 100)

Suy ra:

Vì N = 10000 rất lớn, n = 100 << 10000 = N nên X xấp xỉ phân phối nhị thức: X B(100; 0,1) với p = = 0,1.

Mặt khác, do n = 100 rất lớn và 0 << p = 0,1 << 1 nên ta có thể áp dụng công thức xấp xỉ sau:

.

%d bloggers like this: