Trang chủ > Bài giảng Xác suất thống kê > 4.2 Phân phối Poison

4.2 Phân phối Poison

01/09/2010

i) Công thức: Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với tham số n và p. Khi n khá lớn và np = a (hằng số) thì từ công thức Bernoulli, ta có công thức xấp xỉ:

Khi đó ta sẽ dùng công thức: thay cho công thức Bernoulli và được gọi là công thức Poison.

Bảng phân phối xác suất:

X 0                 1     …     k         …
P

ii) Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận 1 trong các giá trị 0,1,2,.., n với các xác suất tương ứng được tính theo công thức Poison được gọi là có phân phối Poison với tham số là a, kí hiệu là X ρ(a) hay X ~ ρ(a)

Chú ý:

P( k ≤ X ≤ k+h) = Pk + Pk+1+ .. + Pk+h với Pk =

Ví dụ 4: Một nhà máy dệt có 1000 ống sợi. Xác suất để trong 1 giờ máy hoạt động có 1 ống sợi bị đứt là 0,002. Tính xác suất để trong 1 giờ máy hoạt động:

a) Có 2 ống sợi bị đứt.

b) Có không quá 2 ống sợi bị đứt.

Vì n khá lớn n =1000; p = 0,002 → np = 2

Việc quan sát ống sợi xem như là một phép thử, mà ta có n = 1000 ống sợi nên có 1000 phép thử độc lập.

Gọi A là biến cố ống sợi bị đứt và X là số ống sợi bị đứt trong 1 giờ máy hoạt động, ta có:

P = P(A) = 0,002

Suy ra X B(1000; 0,002)

Nhưng vì n khá lớn và np = 2 = a (hằng số) nên X ρ(2)

a) Ta cần tính P(X=2)

b) Xác suất để có không quá 2 ống sợi bị đứt là P(0 ≤ X ≤2)

Ta có: P(0 ≤X ≤ 2) = P0 + P1 + P2, trong đó:

P0 = P(X=0) =

P1 = P(X=1) =

P2 = P(X=2) =

Do đó: P(0 ≤ X ≤ 2) = (1+2+2)= 0,6808

Các tham số đặc trưng:

Nếu X ρ(a) thì E(X) = Var(X) = a

và a – 1 ≤ mod(X) ≤ a

Các ứng dụng của đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Poison:

Số lỗi in sai trong một trang (hoặc một số trang) của một cuốn sách, số người trong một cộng đồng sống cho tới 100 tuổi, số cuộc điện thoại gọi sai trong một ngày, số transitor hư trong ngày đầu tiên sử dụng, số khách hàng vào bưu điện trong một ngày,Số hạt a phát ra từ các hạt phóng xạ trong một chu kỳ.

%d bloggers like this: