3.2 Phương sai

01/09/2010

Định nghĩa: Phương sai (độ lệch bình phương trung bình) của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Var(X) (hay V(x) hoặc D(X)) được xác định bởi công thức:

Var(X) = E{[X – E(X)]2}

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là x1, x2, .., xn với các xác suất tương ứng là P1, P2, .. , Pn thì:

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là f(x) thì:

Chú ý: Trong thực tế ta thường tính phương sai bằng công thức:

Var(X) = E(X2) – [E(X)]2

Ví dụ 5: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất sau:

X 1                     3                 5
P 0,1                 0,4                 0,5

Tìm phương sai của X.

Dễ dàng ta có: E(X) = 3,8

Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 = 1,76

Ví dụ 6: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất sau:

f(x)=

Tìm hằng số c, E(X), Var(X)

Ta có:

Dễ dàng tính được c = 4/81, E(X) = 2,4; Var(X) = 0,24

Tính chất:

i) Var(C) = 0

ii) Var(C.X) = C2.Var(X)

iii) Nếu X, Y là 2 đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì:

Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y); Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y)

iv) Var(C+X) = Var(X)

Ý nghĩa: Ta thấy X – E(X) là độ lệch khỏi giá trị trung bình. Do đó phương sai Var(X) = E{[X – E(X)]2} gọi là độ lệch bình phương trung bình. Nên phương sai phản ánh mức độ phân tán các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình.

Như vậy, phương sai phản ánh mức độ phân tán các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên chung quanh kỳ vọng. Đại lượng ngẫu nhiên có phương sai càng lớn thì các giá trị càng phân tán và ngược lại.

Ứng dụng: Trong công nghiệp, phương sai biểu thị độ chính xác của sản xuất. Trong chăn nuôi, nó biểu thị độ đồng đều của các con gia súc. Trong trồng trọt, nó biểu thị mức độ ổn định của năng suất, .v.v..

Ví dụ 7: Giả sử X là khối lượng các gói bột giặt của phân xưởng I, Y là khối lượng các gói bột giặt của phân xưởng II. Trong đó: E(X) = E(Y) = 500g và Var(X) >Var(Y). Khi đó, các gói bột giặt của phân xưởng II có khối lượng tập trung hơn xung quanh khối lương 500g. Nói cách khác, hệ thống đóng gói của phân xưởng II hoạt động tốt hơn phân xưởng I.

%d bloggers like this: