3.1 Kỳ vọng

01/09/2010

Định nghĩa: Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị x1, x2, .. , xn với các xác suất tương ứng P1, P2, .. , Pn

Khi đó kỳ vọng của X , kí hiệu là E(X) hay M(X) được xác định bởi công thức:

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là f(x) thì kỳ vọng của X là:

Ví dụ 1: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất sau:

X 5             6         7         8         9         10         11
P 1/12     2/12     3/12     2/12     2/12     1/12     1/12

Tìm E(X)?

Ta có:

Ví dụ 2: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có luật phân phối:

X 0             1             3             4             7             8
P 1/30     3/30         12/30         8/30         4/30     2/30

Tính E(X).

Ta có:

Ví dụ 3: Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất:

Tính E(X).

Trước tiên, ta xác định hằng số c:

Ta có:

Do đó:

¨ Tính chất:

i) E(C) = C

ii) E(C.X) = C.E(X) , với C là hằng số.

iii) E(X + Y) = E(X) + E(Y)

iv) Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì: E(X.Y)=E(X).E(Y).

+ Chú ý: Tính chất iii) và iv) có thể mở rộng cho nhiều đại lượng ngẫu nhiên.

Ý nghĩa: Kỳ vọng của 1 đại lượng ngẫu nhiên chính là giá trị trung bình (theo xác suất) của đại lượng ngẫu nhiên đó. Nó là trung tâm điểm của phân phối mà các giá trị cụ thể của X sẽ tập trung quanh đó.

Ví dụ 4: Giả sử ta có cái bình lớn đựng 10 quả cầu giống nhau nhưng khác nhau về trọng lượng: 5 quả nặng 1 kg, 2 quả nặng 2 kg, 3 quả nặng 3 kg. Ta lấy ngẫu nhiên từ bình ra 1 quả cầu và gọi X là trọng lượng của quả cầu đó. Tính E(X) và so sánh E(X) với trọng lượng trung bình của 1 quả cầu trong hộp.

+ Bảng phân phối xác suất của X:

X 1 2                 3
P 5/10             2/10         3/10

E(X) = 1,8

+ Gọi M là trọng lượng trung bình của các quả cầu trong bình.

Ta có:

Vậy: E(X) = M

%d bloggers like this: