Trang chủ > Bài giảng Toán cao cấp > Tích phân xác định

Tích phân xác định

26/08/2010

1. Định nghĩa tích phân xác định.

1.1. Bài toán diện tích hình thang cong

Cho hàm số y = f(x) liên tục, đơn điệu và không âm trên đoạn [a, b]. Xét hình thang cong ABCD được giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b, trục ox và đường cong y = f(x).

Ta chia đoạn [a, b] một cách tuỳ ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia

Trên mỗi đoạn nhỏ được chia [xi-1, xi] ta dựng một hình chữ nhật với chiều rộng là và chiều cao là ( với ). Tổng diện tích của n hình chữ nhật trên là: (chính là diện tích hình bậc thang)

Nhận xét: Diện tích của hình bậc thang gần bằng diện tích của hình thang cong ABCD khi n càng lớn và các đoạn được chia càng nhỏ. Do đó diện tích S của hình thang ABCD đã cho là:

y C

1.2. Định nghĩa tích phân xác định

Cho f(x) là hàm số xác định trên đoạn [a, b], chia đoạn [a, b] một cách tuỳ ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia.

Trên mỗi đoạn [xi-1, xi] lấy điểm (i = 1..n) tuỳ ý, lập tổng và gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên [a, b].

Tăng điểm chia lên vô hạn () sao cho với i =1..n, nếu trong quá trình đó (hữu hạn) mà không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b] và cách lấy điểm thì I được gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên [a, b].

Kí hiệu:

Khi đó ta nói hàm f(x) khả tích trên [a, b].

Nhận xét:

1/ nếu có thì chỉ phụ thuộc vào hàm f(x) và hai cận a, b không phụ thuộc vào biến số, tức là .

2/ Khi định nghĩa tích phân xác định ta coi a < b. Nếu a > b thì và khi a = b thì .

3/ Theo định nghĩa tích phân xác định thì diện tích hình thang cong mà ta đã xét ở trên là: .

1.3. Điều kiện khả tích.

Định lý: f(x) liên tục trên đoạn [a, b] nếu khả tích trên đoạn đó.

Nếu trên đoạn [a, b], hàm số f(x) bị chặn và chỉ có một số điểm gián đoạn thì nó khả tích trên đoạn đó.

Nếu hàm số f(x) đơn điệu và bị chặn trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn đó.

Các tính chất của hàm khả tích:

1/ Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì các hàm và k.f(x) cũng khả tích trên đoạn [a, b].

2/ Nếu hai hàm số f(x) và g(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì tổng, hiệu và tích của chúng cũng khả tích trên đoạn [a, b].

3/ Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên mọi đoạn . Ngược lại, nếu ta chia đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ và f(x) khả tích trên từng đoạn nhỏ đó thì f(x) khả tích trên đoạn [a, b].

2. Tính chất của tích phân xác định.

Giả sử f(x) và g(x) là các hàm khả tích trên đoạn [a, b], khi đó:

1/ .

2/ .

3/ .

4/ Nếu thì .

5/ .

6/ Nếu thì .

7/ (Định lý giá trị trung bình của hàm số)

Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b] và thì tồn tại số sao cho .

Đặc biệt: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì tồn tại số sao cho .

Giá trị được gọi là giá trị trung bình của hàm số f(x).

Kí hiệu: .

3. Công thức cơ bản của tích phân xác định.

Giả sử hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b], khi đó f(x) cũng khả tích trên đoạn

[a, x] [a, b]. Nghĩa là tồn tại tích phân và nó là một hàm số theo biến x.

Kí hiệu: . Khi đó hàm F(x) có các tính chất sau:

1/ Nếu hàm f(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì F(x) liên tục trên đoạn đó.

2/ Nếu hàm f(x) liên tục tại x thì hàm F(x) có đạo hàm tại x và F'(x) = f(x).

Định lý (Công thức Newton – Leibniz): Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của nó thì .

Nhận xét: Công thức này cho phép tính tích phân xác định thông qua nguyên hàm của hàm f(x) mà không cần sử dụng định nghĩa, về nguyên tắc ta có thể tích được tích phân xác định.

Ví dụ: Tính tích phân

Đặt

Khi

4. Ứng dụng của tích phân xác định.

4.1. Tính diện tích hình phẳng:

  • Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) và các đường thẳng x = a ; x = b ; y = 0 được tính theo công thức:

.

  • Nếu các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x) ; y = g(x) và các đường thẳng x = a ; x = b được tính theo công thức: .
  • Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số thì công thức trở thành trong đó t1, t2 lần lượt là nghiệm của các phương trình là các hàm số liên tục trên đoạn [t1, t2].

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 và y = 2 – x.

Hoành độ giao điểm của các đường y = x2 và y = 2 – x là nghiệm của phương trình:

Vậy diện tích cần tìm là:

(đvdt)

4.2 Tính độ dài đường cong phẳng

  • Cung cho bởi đường cong có phương trình y = f(x), trong đó f(x) là hàm số đơn trị và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b]. Độ dài cung AB, với A(a, f(a)) và B(b, f(b)) được tính theo công thức:

.

  • Cung cho bởi đường cong có phương trình , trong đó là các hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b]. Độ dài cung AB, với được tính theo công thức:

.

Ví dụ: Tính độ dài cung của đường cycloide

Giải

Ta có

Vậy độ dài cung cần tìm là : (đvđd).

4.3. Tính thể tích vật thể

  • Vật thể bất kỳ: Là vật thể được giới hạn bởi một mặt cong kín với hai mặt phẳng x = a; x = b vuông góc với ox. Giả sử S(x) là diện tích thiết diện giữa vật thể và mặt phẳng vuông góc với ox tại x ( ) và S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó thể tích của vật thể được tính theo công thức: .
  • Vật thể tròn xoay: Là vật thể được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đường y = f(x), x = a, x = b và y = 0 quanh trục ox. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay được tính theo công thức:

.

Chú ý: Vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đường y = f(x), x = a, x = b và y = 0 quanh trục oy. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay được tính theo công thức:

.

Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường y = 2x – x2 và y = 0 khi:

1/ Xoay quanh trục Ox.

2/ Xoay quanh trục Oy.

Giải

Ta có đường y = 2x – x2 cắt trục ox tại x = 0 và x = 2 nên ta có:

1/ .

2/ .

4.4. Tính diện tích mặt tròn xoay

Mặt tròn xoay là một mặt cong sinh ra do ta quay quanh trục ox một cung đường cong phẳng AB có phương trình y = f(x), [ với f(x) là hàm số đơn trị và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] ; A(a, f(a)), B(b, f(b))]. Diện tích mặt tròn xoay được tính theo công thức:

.

Chú ý:

Nếu quay đường cong phẳng quanh trục oy thì: .

Ví dụ: Tính diện tích mặt tạo nên khi quay đường parbol quanh trục Oy.

Giải

Ta có

Vậy diện tích cần tìm là:

.

%d bloggers like this: