Trang chủ > Bài giảng Toán cao cấp > Tích phân của các hàm số đơn giản.

Tích phân của các hàm số đơn giản.

26/08/2010

3.1. Tích phân của hàm số hữu tỷ

Dạng 1: trong đó a, b là các hằng số và n = 1, 2, 3,…

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:

1/

2/

1/

2/

Dạng 2: trong đó a, b là các hằng số.

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

1/

2/

3/

1/

2/

3/

Cách khác:

Ta có

Dạng 3: trong đó A, B, a, b là các hằng số và a2– 4b < 0.

Ví dụ 3: Tính

Ta có

=

=

Dạng 4: trong đó A, B, C, a, b, c, d, e là các hằng số, b2-4ac < 0 v không là nghiệm của phương trình Ax2+Bx+C = 0.

Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:

1/
2/

1/ Ta có:

Vậy:

2/ Ta có

Vậy

Dạng 5: trong đó m là hằng số và n = 1, 2,…

Ví dụ: Tính

Giải

Ta có

Tính

Đặt u = x du = dx

Vậy

3.2. Tích phân của hàm số lượng giác

Ta xét tích phân lượng giác:, trong đó:

Dạng 1: Nếu R(sinx, – cosx) = -R(sinx, cosx) thì ta đặt t = sinx.

Ví dụ: Tính

Giải

Đặt t = sinx dt = cosxdx

Dạng 2: Nếu R( – sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì ta đặt t = cosx.

Ví dụ: Tính

Giải

Đặt t = cosx dt = – sinxdx

Dạng 3: Nếu R(- sinx, – cosx) = R(sinx, cosx) thì ta đặt t = tgx.

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

1/

2/

Giải

1/ Đặt

2/ Ta có

Đặt

Dạng 4: Nếu hàm R(sinx, cosx) không nằm trong các dạng trên thì ta có thể hữu tỷ hóa tích phân bằng cách đặt , khi đó

sẽ trở thành tích phân hàm hữu tỷ theo t.

Ví dụ: Tính

Giải

Đặt

3.3. Tích phân của hàm số vô tỷ

Dạng 1: , ta đặt .

Ví dụ 1: Tính

Giải

Đặt

Chý ý: Nếu , ta đặt với n = BCNN(n1, n2,…).

Ví dụ 2: Tính

Giải

Đặt

Dạng 2:

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

1/

2/

3/

Giải

1/

2/

3/

Dạng 3:

.

Ta dùng phép thế Euler

(i ) Nếu a > 0, đặt (hoặc ).

(ii ) Nếu c > 0, đặt (hoặc ).

(iii ) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thực x1, x2 thì

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), khi đó ta đặt

Ví dụ 2:

Tính

Giải

Đặt


Chú ý:

Để tính ta có thể dùng phép đổi biến số lượng giác.

Ta có

Đặt .

Khi đó tích phân trên được đưa về các dạng:

(1) (khi b2 – 4ac ≥ 0 và a > 0).

(2) (khi b2 – 4ac ≥ 0 và a < 0).

(3) (khi b2 – 4ac < 0 và a > 0).

Đối với các tích phân này ta có thể dùng phép đổi biến số bằng các đặt:

(1) ; (2) u = msint; (3) u = ntgt

Chú ý:

Bằng phương pháp tích phân từng phần ta tính được:

%d bloggers like this: