Trang chủ > Bài giảng Toán cao cấp > Sự liên tục của hàm số

Sự liên tục của hàm số

26/08/2010

1. Các định nghĩa:

Định nghĩa 1: Cho hàm số f(x) xác định tại x0 và ở trong lân cận x0, khi đó hàm f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu.

Định nghĩa 2: Cho hàm số f(x) xác định tại x0 và ở trong lân cận x0, khi đó hàm f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu = 0.

Với x = x – x0 gọi là số gia của đối số x.

*f = f(x) – f(x0) = f(x0 + x) – f(x0), gọi là số gia của hàm f(x) ứng với x tại x0.

Định nghĩa 3: Hàm f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại điểm x0 nếu:

  • Hàm f(x) xác định tại điểm x0 và ở trong lân cận trái (phải) điểm x0.
  • ( ).

Định nghĩa 4:

– Hàm f(x) được gọi là liên tục trong khoảng (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi x thuộc khoảng (a; b).

– Hàm f(x) được gọi là liên tục trên [a; b] nếu f(x) liên tục trong khoảng (a; b) và liên tục phải tại x = a và liên tục trái tại x = b.

Định nghĩa 5: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục tại x0 và x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm f(x).

Người ta đã chia các điểm gián đoạn của f(x) làm hai loại:

+ Nếu x­0 là điểm gián đoạn của hàm số và giới hạn trái, phải của hàm số f(x) khi x dần tới x0 đều là hữu hạn thì x0 gọi là điểm gián đoạn loại một của hàm số f(x), còn w = được gọi là bước nhảy của f(x) tại x0.

Đặc biệt: Nếu được gọi là điểm gián đoạn bỏ được.

+ Các điểm gián đoạn không phải là điểm gián đoạn loại một thì gọi là điểm gián đoạn loại hai.

Ví dụ 1:

Xét sự liên tục trái, phải của hàm số tại điểm x = 1.

Giải

* liên tục phải tại x = 1 .

* không liên tục trái tại x = 1.

Chú ý: điều kiện cần và đủ để cho hàm f(x) liên tục tại x0 là hàm f(x) phải liên tục trái và liên tục phải tại x0 .

2. Tính liên tục của hàm số sơ cấp.

Hàm sơ cấp f(x) liên tục tại mọi điểm trong miền xác định của nó.

Ví dụ: 1) f(x) = xn () liên tục với mọi x.

2) liên tục tại với mọi x 1.

3) liên tục tại mọi .

3. Các phép tính về hàm liên tục tại cùng một điểm.

1) Nếu f1(x), f2(x) là những hàm số liên tục tại điểm x0 thì tổng, hiệu (f1(x) ± f2(x)); tích (f1(x) . f2(x)); thương (f2(x)0) cũng là những hàm số liên tục tại điểm x0.

2) Nếu u = u(x) là hàm số liên tục tại x = x0, còn hàm f(u) liên tục tại u = u0 thì hàm f[u(x)] cũng là liên tục tại x0.

Ý nghĩa hình học của khái niệm liên tục:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] thì đồ thị của nó là một đường cong liền không bị ngắt quãng nối hai điểm A(a, f(a)); B(b, f(b)).

♦ Những tính chất quan trọng của hàm f(x) liên tục trên [a, b]:

i. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì nó bị chặn trên [a, b].

ii. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] thì nó giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.

%d bloggers like this: