Trang chủ > Bài giảng Xác suất thống kê > 4.5. Công thức Bernuolli.

4.5. Công thức Bernuolli.

26/08/2010

Định nghĩa: Ta tiến hành n phép thử độc lập. Giả sử trong mỗi phép thử chỉ xảy ra hai trường hợp: Hoặc biến cố A xảy ra với xác suất p hoặc biến cố A không xảy ra với xác suất q = 1 – p.

Các bài toán thỏa mãn các điều kiện trên thì được gọi là tuân theo lược đồ Bernoulli. Khi đó xác suất để trong n phép thử độc lập biến cố A xuất hiện k lần được ký hiệu: Pn(k) và được tính ,công thức này mang tên là công thức Bernoulli.

Ví dụ 4: Hộp có 10 viên bi, trong đó có 6 viên bi màu đỏ. Lần lượt rút có hoàn lại 5 viên bi. Gọi A là biến cố rút được viên bi màu đỏ trong mỗi lần rút, ta được một lược đồ Bernoulli với:

* Số phép thử độc lập là n = 5.

* P(A) = 6/15.

Ví dụ 5: Trong một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập, xác suất để một máy bị hư trong một ca sản xuất là bằng nhau và bằng p = 0,1. Tính xác suất để trong 1 ca có hai máy bị hư.

Ta thấy 5 máy hoạt động độc lập cho nên ta có thể coi như tiến hành 5 phép thử độc lập và mỗi phép thử chỉ có hai kết cục máy hoạt động tốt hoặc máy bị hư với xác suất p = 0,1.

Khi đó bài toán tuân theo lược đồ Bernoulli.

Do đó xác suất để trong một ca có hai máy bị hư. P5(2) = .(0,1)2.(0,9)3.

Ví dụ 6: Một sinh viên thi trắc nghiệm môn Ngoại Ngữ gồm có 10 câu hỏi. Mỗi câu có 4 phần để lựa chọn trả lời, trong đó chỉ có 1 phần đúng. Giả sử sinh viên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên các phần của câu hỏi. Tính xác suất trong các trường hợp sau:

a) Sinh viên vừa đủ điểm đậu (5 điểm).

b) Sinh viên chọn đúng ít nhất 1 câu hỏi.

Giải

a) Sinh viên vừa đủ điểm đậu:

Gọi A là biến cố sinh viên vừa đủ điểm đậu.

Xem việc chọn câu trả lời ở mỗi câu hỏi của sinh viên là 1 phép thử thì trong mỗi phép thử có 1 trong 2 khả năng xảy ra :

+ Sinh viên trả lời đúng với xác suất là p = 1/4.

+ Sinh viên trả lời sai với xác suất là q =3/4.

Vậy:

b) Sinh viên chọn đúng ít nhất 1 câu hỏi:

Gọi B là biến cố sinh viên chọn đúng ít nhất 1 câu hỏi.

là biến cố sinh viên không chọn đúng câu hỏi nào.

Ta có:

Ví dụ 7: Một bác sĩ có xác suất cha khỏi bệnh là 0,8. Có người nói rằng cứ 10 người đến cha bệnh thì chắc chắn có 8 người khỏi bệnh. Điều khẳng định đó có đúng không?

Điều khẳng định trên là sai.

Ta có thể xem việc chữa bệnh cho 10 người là một dãy của một phép thử độc lập. Nếu gọi A là biến cố chữa khỏi bệnh cho một người thì P(A) = 0,8

Do đó: Xác suất để trong 10 người đến chữa bệnh thì có 8 người khỏi bệnh là:

P10(8) =

Công Thức Bernoulli Mở Rộng:

♦ Lược đồ Bernoulli mở rộng:

Định nghĩa: Một lược đồ Bernoulli mở rộng gồm :

– Dãy n phép thử độc lập.

– Hệ biến cố đầy đủ, xung khắc.

Trong đó: .

♦ Công thức Bernoulli mở rộng:

Công thức: Xác suất để trong n phép thử độc lập, biến cố Ai xảy ra m1 lần, biến cố A2 xảy ra m2 lần , …, biến cố Ai xảy ra mi lần (trong đó ) là:

Ví dụ 8: Lô hàng có 100 sản phẩm trong đó có 30 sản phẩm loại A, 50 sản phẩm loại B và 20 sản phẩm loại C. Lần lượt rút có hoàn lại 9 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất để trong 9 lần rút đó có 3 lần rút được sản phẩm loại A, 4 lần rút được sản phẩm loại B và 2 lần rút được sản phẩm loại C.

Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố rút được sản phẩm loại A, B, C trong mỗi lần rút.

Rõ ràng hệ {A,B,C} đầy đủ và xung khắc từng đôi.

, ,

Do đó:

%d bloggers like this: