Trang chủ > Bài giảng Xác suất thống kê > 3.1. Định nghĩa xác suất theo cổ điển

3.1. Định nghĩa xác suất theo cổ điển

25/08/2010

Giả sử một phép thử có n biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó có m biến cố sơ cấp đồng khả năng thuận lợi cho biến cố A. Khi đó xác suất của biến cố A (kí hiệu P(A)) được định nghĩa bởi công thức sau:

P(A) = , trong đó m là số biến cố thuận lợi cho A, n là biến cố đồng khả năng có thể xảy ra.

Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc. Tính xác suất để xúc xắc xuất hiện mặt chẵn.

Gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt i chấm.

Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, có A = A2A4A6

Khi tung con xúc xắc có 6 biến cố đồng khả năng có thể xảy ra trong đó có 3 biến cố thuận lợi cho A. Khi đó: P(A) = = = 0,5

Ví dụ 2: Tung ngẫu nhiên 1 con xúc xắc. Tính xác suất để con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là số lẻ.

Gọi A là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có chấm là số lẻ.

Ai là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có i chấm .

Khi tung 1 con xúc xắc thì có 6 khả năng xảy ra tương ứng con xúc xắc có thể xuất hiện các mặt mang số chấm từ 1 đến 6. Ta có không gian các biến cố sơ cấp là:

Số trường hợp có thể của phép thử: 6.

Ta có các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A: .

Suy ra số trường hợp thuận lợi cho biến cố A: 3

Do đó:

Ví dụ 3: Tung đồng thời 2 con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc là 7.

Gọi A là biến cố tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc là 7.

Ai là biến cố xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt có i chấm .

Bi là biến cố xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt có i chấm .

Ta thấy: Tương tự như ví dụ trên, khi ta tung 1 con xúc xắc thì có 6 khả năng. Do đó khi ta tung 2 con xúc xắc cùng lúc thì có thể có 6.6 = 36 khả năng xảy ra. Ta có không gian các biến cố sơ cấp là:

Vậy số trường hợp có thể của phép thử là: 36

Ta có các biến cố thuận lợi cho biến cố A:

Suy ra số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: 6.

Ví dụ 4: Một người gọi điện thoại nhưng lại quên hai số cuối của số điện thoại, chỉ biết rằng hai số đó là khác nhau. Tính xác suất để người đó chỉ quay một lần đúng số cần gọi.

Gọi B là biến cố người đó chỉ quay một lần đúng số cần gọi.

Số biến cố thuận lợi cho B là: m = 1

Số biến cố đồng khả năng có thể xảy ra là: n = = 90

→ P(A) =

Ví dụ 5: Một hộp gồm 6 bi trắng và 4 bi đen, lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp. Tính xác suất để :

a) Có 1 bi trắng.

b) Có 2 bi trắng.

Gọi A là biến cố có 1 bi đen trong 2 bi lấy ra.

Gọi B là biến cố có 2 bi trắng trong 2 bi lấy ra.

Có: P(A) = m/n = = =

P(B) = m/n = =

Ví dụ 6: Trong một hộp đựng 20 quả cầu trong đó có 14 quả cầu đỏ và 06 quả cầu trắng. Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) 5 quả cầu từ trong hộp. Tính xác suất để trong 5 quả cầu lấy ra có 3 quả cầu đỏ. Biết rằng các quả cầu là cân đối và giống nhau.

Vì các quả cầu là cân đối và giống nhau. Nên ta có: n =

Gọi A là biến cố trong 5 quả cầu lấy ra có 3 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng.

+ Số cách lấy 3 quả cầu đỏ:

+ Số cách lấy 2 quả cầu trắng:

→ m = .

4 sản phẩm
A: 2 tốt + 2 xấu
6 tốt
x

9

10

lần 1

lần 2

Đ2 ?

Đ1

4 đỏ

3 đỏ

Hình 5

Hình 3

D

Hình 2

với x Î [0,1]

với x Ï [0,1]

Ví dụ 7: Hộp có 10 sản phẩm trong đó có 4 sản phẩm tốt còn lại là sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để trong 4 sản phẩm rút ra có 2 sản phẩm tốt.

Gọi A là biến cố có 2 sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm được rút ra.

Ta có:

– Số trường hợp có thể xảy ra: n =

– Số trường hợp thuận lợi:

+ Số trường hợp rút được 2 sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm tốt:

+ Số trường hợp rút được 2 sản phẩm xấu trong 6 sản phẩm xấu:

→ Số trường hợp thuận lợi của biến cố A: .

→ Xác suất của A:

* Từ ví dụ trên ta có thể tổng quát thành bài toán lược đồ hộp kín:

Cho một hộp đựng N quả cầu cân đối và giống nhau trong đó có M quả cầu đỏ (M< N) và (N – M) quả cầu trắng.

Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) p quả cầu (p N) từ trong hộp. Tính xác suất để trong p quả cầu lấy ra có q (q p) quả cầu đỏ.

Gọi A là biến cố trong p quả cầu lấy ra có q quả cầu đỏ.

→ n = .

* Số cách lấy q quả cầu đỏ:

* Số cách lấy (p – q) quả cầu trắng:

→ m =.

Ví dụ 8: Một nhóm gồm n người. Tính xác suất để có ít nhất hai người có cùng ngày sinh (cùng ngày cùng tháng).

Gọi S là tập hợp các danh sách ngày sinh có thể của n người và E là biến cố có ít nhất hai người trong nhóm cùng ngày sinh trong năm.

Ta có là biến cố không có hai người bất kỳ trong nhóm có cùng ngày sinh.

Số các trường hợp của S là: n(S) = = 365n

Số các trường hợp thuận lợi cho là: n() = 365.364. . . [365 – (n – 1)]

= =

Vì các biến cố đồng khả năng nên: P() = = =

Do đó, xác suất để ít nhất hai người có cùng ngày sinh là:

P(E) = 1 – P() = 1 –

Chú ý: Khi tính xác suất của các biến cố, ta không cần phải chỉ ra các biến cố sơ cấp có thể xảy ra và các biến cố sơ cấp thuận lợi mà chỉ cần chỉ ra số các biến cố sơ cấp có thể xảy ra, số các biến cố sơ cấp thuận lợi cho các biến cố đó.

Nhận xét: Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển có một vài hạn chế như sau:

– Chỉ xét cho hệ hữu hạn các biến cố sơ cấp.

– Không phải lúc nào cũng phân tích được thành tích các biến cố đồng khả năng.

%d bloggers like this: