Trang chủ > Bài giảng Xác suất thống kê > 4.4 Phân phối chuẩn

4.4 Phân phối chuẩn

01/09/2010

4.1. Phân phối chuẩn:

Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị từ - đến + với hàm mật độ xác suất:

Trong đó: μ là hằng số, 0 < σ: hằng số, - < x < +.

được gọi là có luật phân phối chuẩn với tham số μ, σ.

Kí hiệu: X N(μ;σ2) hay X ~ N(μ;σ2).

Khảo sát hàm số f(x):

+ f’(x) = – f(x) → f’(x) = 0 <=> x = μ.

+ f”(x) = f(x) → f”(x) = 0 <=> x = μ

+ => Đồ thị hàm số f(x) nhận trục Ox làm tiệm cận ngang.

+ Bảng biến thiên:

X
-∞                     μ-σ                 μ                     σ+μ                 +∞

f’(x) + +         0         –
f”(x) +            0         – –             0             +
f(x) 0                 0





Đồ thị đạt giá trị cực đại M.

Và có 2 điểm uốn : U1 , U2.

Có trục đối xứng : x = μ.

x

m-s

m

m+s

O

f(x)

Hình 19

Đồ thị có dạng hình quả chuông

. Ðồ thị (hình 19):

Hàm phân phối xác suất F(x):

m

x

O

0,5

1

Hình 20

F(x)




Hàm phân phối xác suất F(x) không biểu diễn được thành hàm sơ cấp:

Đồ thị hàm sin F(x) có tâm đối xứng: (μ ; 0,5) (hình 20)

Các tham số đặc trưng:

a) Mod(X) = μ.

b) E(X) = μ.

c) Var(X) = .

Ví dụ 8: Cho X N(5,9). Hãy viết hàm mật độ xác suất f(x), chỉ ra tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số f(x) và xác định các đặt trưng số: E(X), Var(X), σ(X), mod(X).

Ta có:

Hàm mật độ f(x): f(x) = .

Tọa độ đỉnh:

Đặc trưng số:

. Mod(X) = 5; E(X) = 5; Var(X) = 9; σ(X) = 3.

Ứng dụng: Phân phối chuẩn có ý nghĩa rất lớn trong thực tế. Rất nhiều đại lượng ngẫu nhiên có luật phân phối chuẩn. Những đại lượng ngẫu nhiên có liên quan đến số lượng lớn, chịu ảnh hưởng của các yếu tố cân bằng nhau thường có luật phân phối chuẩn. Chẳng hạn:

+ Các chỉ số sinh học (cân bằng, chiều cao, …) của người cùng giới tính và cùng độ tuổi.

+ Các chỉ số sinh học của các loài cây, loài vật cùng độ tuổi.

+

Khối lượng, kích thước của các sản phẩm do cùng 1 hệ thống máy sản xuất ra.

X: cân nặng (kg)

Tần suất (%)

30

16

O

2,9

3,0

3,1

3,2

3,3

3,4

Hình 21

3,5

Ví dụ 9: Gọi X là cân nặng của trẻ sơ sinh ở khu vực dân cư lớn. Khảo sát đại lượng ngẫu nhiên X sau 1 khoảng thời gian như hình vẽ. Với khoảng chia 0,1 kg, nối các điểm biểu diễn tần suất, ta được đường gấp khúc có điểm cao nhất tại X = 3,2 kg. Nếu các điểm chia được mịn hơn, đường tần số có dạng “trơn” dần, xấp xỉ 1 phần đường hình chuông của phân phối chuẩn với đỉnh tại X = 3,2 kg, do đó có thể nói rằng trung bình căn nặng trẻ sơ sinh khu vực đó là E(X) = 3,2 kg.

4.2 Phân phối chuẩn tắc:

Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục T có luật phân phối chuẩn với m = 0 và s = 1, được gọi là có luật phân phối chuẩn tắc.

Kí hiệu: T N(0;1) hay T ~ N(0;1).

Hàm mật độ xác suất :

được gọi là hàm Laplace.

x

f(x)

O

Hình 22

Đồ thị hàm mật độ xác suất: có dạng đường cong hình chuông đối xứng qua trục tung (hình 22).

+ Cực đại : M

+ 2 điểm uốn :

U1

U2.

+ Tiệm cận ngang: trục Ox.

+ Hàm f(x) là hàm chẵn: f(x) = f(-x).

+ Giá trị của hàm f(x) được cho trong bảng phụ lục.

Hàm phân phối xác suất: Hàm phân phối xác suất, kí hiệu: F(x), được gọi là hàm Gauss:

x

j(x)

1

O

Hình 23

F(x)

-0,5

0,5

y

Đồ thị hàm phân phối xác suất F(x) đối xứng qua điểm có tọa độ: x = 0, y = 0,5 (hình 23).

Hàm tích phân Laplace:

+ Đặt :

+ φ(x) được gọi là tích phân Laplace. Giá trị của hàm φ(x) được cho trong bảng phụ lục.

+ F(x) = φ(x) + 0,5.

+ φ(x) là hàm lẻ: φ(x) = – φ(-x).

+ .

Thật vậy :

(đpcm)

Các tham số đặc trưng:

a) Mod(T) = 0.

b) E(T) = 0.

c) Var(T) = 1.

Ví dụ 10: Cho đại lượng ngẫu nhiên T có luật phân phối chuẩn tắc, Tính , mod(T), E(T), Var(T).

Ta có T N(0;1).

Suy ra: = φ(2) – φ(-1) = φ(2) + φ(1) = 0,4772 + 0,3413 = 0,8185.

+ Mod(T) = 0; E(T) = 0; Var(T) = 1.

Định lý: X N(μ,) Þ T = N(0,1). Tức là nếu X phân phối chuẩn với tham số μ và thì có phân phối chuẩn tắc.

Hệ quả: Cho X N(μ , ), ta có:

a) .

b) .

c)

y

Diện tích a

x

Hình 24

Phân vị chuẩn: Phân vị chuẩn mức α, kí hiệu , là giá trị của đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn hóa thỏa mãn điều kiện: P(U <) = α.

Với α cho trước có thể tính được các giá trị của . Các giá trị của được cho trong bảng phụ lục.

About these ads
Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: