Trang chủ > Bài giảng Xác suất thống kê > 4.1 Phân phối nhị thức

4.1 Phân phối nhị thức

01/09/2010

Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận 1 trong các giá trị 0, 1, 2,…,n với các xác suất tương ứng được tính theo công thức Bernoulli là:

được gọi là có phân phối nhị thức với tham số n và p

Phân phối nhị thức, kí hiệu: B(n;p)

Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức kí hiệu là XB(n,p) hay X ~ B(n,p)

Công thức: Với h là số nguyên dương thỏa h ≤ n – x thì:

P( x ≤X ≤ x+h) = Px + Px+1+ .. + Px+h với Px =

Ví dụ 1: Tỷ lệ phế phẩm trong 1 lô hàng là 3%. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 100 sản phẩm ra để kiểm tra. Tính xác suất để:

a) Có 3 phế phẩm.

b) Có không quá 3 phế phẩm.

Mỗi lần kiểm tra một sản phẩm là thực hiện một phép thử. Do đó lấy lần lượt 100 sản phẩm ra để kiểm tra, ta xem như thực hiện 100 phép thử độc lập, khi đó n = 100.

Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra là phế phẩm

P(A) = P = 3% = 0,03

Gọi X là số phế phẩm có trong 100 sản phẩm lấy ra, có: X[0;100], X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nên X B(100; 0,03)

a) P(X =3) =

b) P(0≤X≤3) = P0+ P1 + P2 + P3 =

= 0,647

+ Nhận xét: Trong phân phối nhị thức, nếu n khá lớn và xác suất p không quá gần 0 và 1 thì ta có công thức xấp xỉ sau:

i) với u = , f(u) =

Công thức trên được gọi là công thức địa phương Laplace.

* Chú ý: Các giá trị của hàm f(u) đã tính thành bảng (được tính trong bảng giá trị hàm Gauss).

ii) P( x ≤ X ≤ x+h) = φ(u2) – φ(u1)

Với , ,

Công thức trên được gọi là công thức tích phân Laplace.

  • Chú ý: Hàm f(u) là hàm chẵn, hàm φ(u) là hàm lẻ.

Các giá trị của hàm j(u) đã tính thành bảng (được tính trong bảng giá trị hàm Laplace).

Các tham số đặc trưng:

Nếu X B(n,p) thì E(X) = np

Var(X) = npq

np – q ≤ mod(X) ≤ np + p

Ví dụ 2: Một máy sản xuất được 200 sản phẩm trong một ngày. Xác suất để máy sản xuất ra phế phẩm là 0,05. Tìm số phế phẩm trung bình và số phế phẩm có khả năng tin chắc của máy đó trong một ngày.

Gọi X là số phế phẩm của máy trong một ngày thì X B(200; 0,05)

Số phế phẩm trung bình của máy trong một ngày là:

E(X) = np = 200.0,05 = 10

Số phế phẩm tin chắc trong một ngày là mod(X). Ta có:

np – q = 200.0,05 – 0,95 = 9,05

np + p = 200.0,05 + 0,05 = 10,05

→ 9,05 ≤ mod(X) ≤ 10,05

Vì XB(200; 0,05) nên mod(X) Z. Do đó mod(X) = 10

Ví dụ 3: Một nhà máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 20%.

a)Nếu lấy từ nhà máy ra 5 sản phẩm. Tính xác suất để được 2 phế phẩm.

b) Nếu lấy từ nhà máy ra 400 sản phẩm:

i) Tính xác suất được 80 phế phẩm.

ii) Tính xác suất được từ 60 đến 80 phế phẩm.

iii) Tính xem trung bình có bao nhiêu phế phẩm.

Giải

a)Gọi X là số phế phẩm trong 5 sản phẩm chọn ra.

Ta có: X B(5;0,2)

Suy ra:

b) Gọi Y là số phế phẩm có trong 400 sản phẩm chọn ra.

Ta có: Y B(400 ;0,2)

Do n = 400, 0 << p = 0,2 << 1 nên ta có thể áp dụng công thức xấp xỉ:

i)

ii)

iii) E(Y) = n.p = 400.(0,2) = 80

Vậy trung bình có 80 phế phẩm trong 400 sản phẩm chọn ra.

About these ads
Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: